和为 K 的子数组：查询历史前缀
默认数组 [1,2,1,2]，K=3。统计和恰好为 K 的非空连续子数组数量，不是任意挑选元素。三个合法闭区间是 [0,1]、[1,2]、[2,3]，答案 3。区间可以重叠，位置不同分别计数。
“子数组”必须连续；原数组负数与 0 也合法。前缀 P[t] 仍表示前 t 项的和，原数组区间 [l,r] 的和为 P[r+1]−P[l]。
暴力方法：先把所有候选看全
Section titled “暴力方法：先把所有候选看全”固定左端点 l，从 r=l 开始向右延伸。每多一格就把 nums[r] 加到 sum，检查一次是否等于 K。换左端点时 sum 清零。
长度 4 的数组共有 4+3+2+1=10 个非空候选区间。这里用增量累加做到 O(n²)，不是每次重新求整段和的 O(n³) 写法。下方暴力演示也会显示所有不满足条件的候选。
优化推导：为什么查 cur−K
Section titled “优化推导：为什么查 cur−K”固定右端点 r，记 cur=P[r+1]。条件 P[r+1]−P[l]=K，移项得到 P[l]=cur−K。于是每来一个右端点，只需问：以前有几个前缀值等于 cur−K？
例如默认样例处理 i=3 时，cur=6，需要历史前缀 3；P[2]=3，对应左边界 l=2，因此新增区间 [2,3]。历史表的键是前缀和，不是原数组元素值。
freq 保存次数。多个相同值的历史前缀对应不同左边界，都应该计数，不能改用只保存存在与否的 Set。
空前缀与顺序
Section titled “空前缀与顺序”开始前放入 freq[0]=1，表示 P[0]=0 出现过一次。当 cur=K 时，目标前缀为 0，这样才能计入从原数组下标 0 开始的区间。
这不是预先把空子数组算作答案。查询时，只允许更早的前缀 P[0…r]；当前的 P[r+1] 尚未入表。因此区间至少包含一个元素。查询、累加完成后再记录当前前缀。
手动推演：累计、变形、查询、贡献、记录
Section titled “手动推演：累计、变形、查询、贡献、记录”每轮五个动作。查询命中后才把贡献加入 ans；记录当前前缀时，图中“历史覆盖范围”会随之更新。
演示尚未初始化；如果此提示持续显示，脚本未能加载。文字与 Java 示例仍可阅读。
查看 Java 代码 · 当前动作语句高亮
高亮表示刚执行完成的语句，一步可以覆盖多行；最后一步也包含返回值。代码仅为正确解法，错误实验独立展示。
前缀解法
import java.util.HashMap;import java.util.Map;class Solution { public long countSubarraysSumK(int[] nums, int k) { Map<Long, Integer> freq = new HashMap<>(); freq.put(0L, 1); long cur = 0L, ans = 0L; for (int x : nums) { cur += x; long need = cur - k; int hit = freq.getOrDefault(need, 0); ans += hit; freq.put(cur, freq.getOrDefault(cur, 0) + 1); } return ans; }}暴力解法
class Solution { public long countSubarraysSumK(int[] nums, int k) { long ans = 0L; for (int left = 0; left < nums.length; left++) { long sum = 0L; for (int right = left; right < nums.length; right++) { sum += nums[right]; if (sum == k) ans++; } } return ans; }}cur 与 ans 都用 long，避免前缀总和或子数组数量超出 int。增强 for 中没有数组下标变量，图中的 i 是教学定位信息。
查询的键是 cur - k，更新的键是 cur。它们通常不是同一个键，不能用 hit + 1 更新当前前缀次数。
本页是与 Java 示例对应的教学推演，不运行任意 Java。加载完成后可断网操作；刷新清空输入、步骤和自测答案。
默认样例逐轮核对（记录当前前缀之后）
| 原数组 i | cur=P[i+1] | need=cur−3 | hit | ans |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | −2 | 0 | 0 |
| 1 | 3 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 1 | 1 | 2 |
| 3 | 6 | 3 | 1 | 3 |
正确性与复杂度
Section titled “正确性与复杂度”每个合法区间有唯一的右端点，处理这个右端点时，它的左前缀已经在历史中，且满足 cur−K。频次精确表示可选左边界数量，因此不漏、不重复。
暴力检查 n(n+1)/2 个候选，时间 O(n²)、额外空间 O(1)。优化每个元素做一次前缀累加、一次匹配查询、一次频次记录，HashMap 平均查改 O(1)，总体平均 O(n)、额外空间 O(n)。更新语句内部读取已有次数，账本中的“匹配查询”仅指寻找 need 的那次查询。
图中为了教学保留的全部区间和快照，不是 Java 模板实际保存的数据。含负数时窗口扩大会使和变小，不能无条件使用滑动窗口替代。
两个错误实验：独立输入 [0]，K=0
Section titled “两个错误实验：独立输入 [0]，K=0”正确做法得到 1，只有区间 [0,0]。漏掉空前缀会得到 0；提前记录当前前缀会得到 2，多算一个空区间 [1,0]，也就是左前缀与当前前缀是同一个位置。
演示尚未初始化；如果此提示持续显示，脚本未能加载。文字与 Java 示例仍可阅读。
顺序反转造成自匹配的直接反例是 K=0；不能声称任何非零 K 都必然多算一段。错误实验独立于主样例，进入时暂停主演示。
Java：查询键与更新键不是一回事
Section titled “Java：查询键与更新键不是一回事”查看联动 Java。查询的是 need=cur−K，记录的是 cur，不能拿 hit+1 更新 freq[cur]。模板从原稿的一行查询累加中拆出 need 与 hit，便于对照步骤。
cur 与 ans 用 long：总和可能超出 int，10 万个零、K=0 时有 5,000,050,000 个非空区间。图中的原数组下标 i 是教学定位，增强 for 实际只声明 x。
自测：换成含负数的新样例
Section titled “自测：换成含负数的新样例”来源与下一课
Section titled “来源与下一课”依据 S2 技巧 2 的默认例子和 560 模板、S1 哨兵 A/B 与单步账本训练、S3 §5 的错误清单整理。完整来源与校对说明。