静态区间和：两个前缀相减
问题与贯穿样例
Section titled “问题与贯穿样例”原数组 [2,−1,3]，查询闭区间 [1,2]。下标从 0 开始，包含下标 1 和 2，答案是 −1+3=2。支持负数，区间必须非空。
本节静态例题始终使用这个样例。下方自定义输入只改变主演示及联动代码，错误实验与自测各有独立样例。
从重复累加到前缀差
Section titled “从重复累加到前缀差”暴力方法从 l 走到 r，读一个数加一次。单次短区间很直接，但许多重叠查询会反复累加同样的元素。
先把“从最左边开始”的累计和记下来：P=[0,2,1,4]。其中 P[3]=4 包含前 3 项，P[1]=2 只包含前 1 项。
要的区间 [1,2] 在大段 [0,3) 内。大段减掉左边多出的 [0,1)，就只剩 [1,3)，也就是原数组闭区间 [1,2]：P[3]−P[1]=4−2=2。共同左段会抵消，正数、负数都成立。
为什么是 n+1 和 r+1
Section titled “为什么是 n+1 和 r+1”P 的下标表示取了多少个元素，nums 的下标表示第几个位置。n 个元素有 n+1 个前缀边界，包括一个都不取的 P[0]。所以 P[i+1]=P[i]+nums[i]。
闭区间 [l,r] 含 nums[r]，右前缀必须取到 P[r+1]。左前缀 P[l] 刚好排除 nums[l]。公式为 P[r+1]−P[l]，不需要给从 0 开始的查询额外写分支。
手动推演：先构造，再读取与相减
Section titled “手动推演：先构造，再读取与相减”前缀解法每步构造一格，然后分三个动作读取右前缀、读取左前缀、做差。逐项累加解法每步加一个区间内元素。首次进入暂停，前后步进恢复完整状态。
演示尚未初始化；如果此提示持续显示，脚本未能加载。文字与 Java 示例仍可阅读。
查看 Java 代码 · 当前动作语句高亮
高亮表示刚执行完成的语句，一步可以覆盖多行；最后一步也包含返回值。代码仅为正确解法，错误实验独立展示。
前缀解法
public class NumArray { private final long[] pre; public NumArray(int[] nums) { pre = new long[nums.length + 1]; for (int i = 0; i < nums.length; i++) { pre[i + 1] = pre[i] + nums[i]; } } public long sumRange(int left, int right) { long whole = pre[right + 1]; long before = pre[left]; return whole - before; }}暴力解法
class Solution { public long sumRange(int[] nums, int left, int right) { long sum = 0L; for (int i = left; i <= right; i++) { sum += nums[i]; } return sum; }}Java 的 pre 使用 long[]。先构造一次 NumArray，再多次调用 sumRange；调用者需保证 0 ≤ left ≤ right < nums.length。
前缀下标与原数组下标相差一位源于定义，不是凭空加 1。
本页是与 Java 示例对应的教学推演，不运行任意 Java。加载完成后可断网操作；刷新清空输入、步骤和自测答案。
完成构造后，仅改变 l、r 再应用：数组未变时会复用前缀，只演示三个查询动作。修改数组、重置或切换解法会重新开始。编辑中的数据不会提前进入图形或答案。
正确性与复杂度账本
Section titled “正确性与复杂度账本”P[r+1] 与 P[l] 的公共部分恰好是 nums[0…l−1]，相减后只留下 nums[l…r]，不漏两端，也不多算区间外元素。
逐项查询长度为 m 的区间，读取并累加 m 项，时间 O(m)。前缀解法先花 O(n) 时间与 O(n) 空间建表，以后每次两次读取、一次相减，时间 O(1)。Q 次查询总体 O(n+Q)。对一次很短的查询，预处理未必划算；动画步数不代表性能倍数。
前缀构造期间未算出的格子显示 ?，不会用 0 冒充结果。原数组改动后必须重建受影响的前缀，本课只讨论静态查询。
错误实验：少一个 +1，会漏掉什么
Section titled “错误实验：少一个 +1，会漏掉什么”独立固定样例 [5]，闭区间 [0,0]。正确答案 5。故意把 P[r+1] 写成 P[r]，得到 P[0]−P[0]=0，漏掉唯一的右端点。
演示尚未初始化；如果此提示持续显示，脚本未能加载。文字与 Java 示例仍可阅读。
实验不会改变主演示数据和步骤；进入实验会暂停主播放，返回后不会自动恢复。
Java：先构造对象，再多次调用
Section titled “Java：先构造对象，再多次调用”查看联动 Java。long[] pre 只构造一次；sumRange 每次读取 whole 与 before 再相减。为了拆开观察，本课把模板里的一行相减写成三个语句，含义不变。
输入需满足 0≤left≤right<nums.length。Java 示例使用 long 防止累加溢出；显示的有限输入范围是教学限制，不是 long 的数值上限。
自测：解释两种下标
Section titled “自测：解释两种下标”试着不看动画，解释 [0,0] 与 [0,n−1] 分别应该读哪两个前缀。自测只反馈本轮答案，不建立掌握度评分或长期记录。
来源与下一课
Section titled “来源与下一课”依据 S2 技巧 1 的 [2,−1,3] 样例、S1 统一坐标系、S3 §3.3 NumArray 整理。完整书目与适用范围修订见专题目录。插入、删除会重算后缀，不强行加入这节静态查询课。