图论——并查集
原文：CSDN（历史文章导入，当前状态为草稿）
并查集（Union-Find）算法是一个专门针对「动态连通性」的算法，我之前写过两次，因为这个算法的考察频率高，而且它也是最小生成树算法的前置知识.
动态连通性其实可以抽象成给一幅图连线。
下面这幅图，总共有 10 个节点，他们互不相连，分别用 0~9 标记：
「连通」是一种等价关系，也就是说具有如下三个性质：
1、自反性：节点 p 和 p 是连通的。
2、对称性：如果节点 p 和 q 连通，那么 q 和 p 也连通。
3、传递性：如果节点 p 和 q 连通，q 和 r 连通，那么 p 和 r 也连通。
判断这种「等价关系」非常实用，比如说编译器判断同一个变量的不同引用，比如社交网络中的朋友圈计算等等。
并查集主要需要实现的API是下面这些:
class UF { // 将 p 和 q 连接 public void union(int p, int q); // 判断 p 和 q 是否连通 public boolean connected(int p, int q); // 返回图中有多少个连通分量 public int count();}比如说之前那幅图，0～9 任意两个不同的点都不连通，调用 connected 都会返回 false，连通分量为 10 个。
如果现在调用 union(0, 1)，那么 0 和 1 被连通，连通分量降为 9 个。
再调用 union(1, 2)，这时 0,1,2 都被连通，调用 connected(0, 2) 也会返回 true，连通分量变为 8 个。
Union-Find 算法的关键就在于 union 和 connected 函数的效率。
什么是并查集
Section titled “什么是并查集”并查集是用于处理不相交集合的合并与查询的高效数据结构.
它可以在大规模的数据集合中快速进行集合的**合并(Union)和查询(Find)**操作,广泛应用于动态连通性问题中.
理论上来说,只负责两个操作:
- 查找操作(Find)
判断一个元素属于哪个集合(找出元素的“根”).
这个操作返回的是该元素所在集合的“根”元素,通常通过沿着树的路径找到根. - 合并操作(Union)
将两个元素所在的集合合成一个集合.
通常将一个树的根节点指向另一个树的根节点.
假如有个森林(n棵树)来表示图的动态连通性,用数组来具体实现这个森林.
树的每个节点有一个指针,它指向它自己的父节点.
那如果它自己是根节点的话,这个指针指向自己.
比如上面10个节点的图,已开始没有互相连通,那就是这样:
代码模版:
class UF { // 记录连通分量 private int count; // 节点 x 的父节点是 parent[x] private int[] parent;
// 构造函数，n 为图的节点总数 public UF(int n) { // 一开始互不连通 this.count = n; // 父节点指针初始指向自己 parent = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) parent[i] = i; }
// 其他函数}如果某两个节点被连通，则让其中的（任意）一个节点的根节点接到另一个节点的根节点上：
class UF { // 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
public void union(int p, int q) { int rootP = find(p); int rootQ = find(q); if (rootP == rootQ) return; // 将两棵树合并为一棵 parent[rootP] = rootQ; // parent[rootQ] = rootP 也一样
// 两个分量合二为一 count--; }
// 返回某个节点 x 的根节点 private int find(int x) { // 根节点的 parent[x] == x while (parent[x] != x) x = parent[x]; return x; }
// 返回当前的连通分量个数 public int count() { return count; }}如果节点 p 和 q 连通的话，它们一定拥有相同的根节点：
class UF { // 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
public boolean connected(int p, int q) { int rootP = find(p); int rootQ = find(q); return rootP == rootQ; }}我们用数组模拟出了一片森林,巧妙解决了复杂的问题.
但是如果你算算复杂度的话,有点头疼了.
主要 API connected 和 union 中的复杂度都是 find 函数造成的，所以说它们的复杂度和 find 一样。
那find 主要功能就是从某个节点向上遍历到树根，其时间复杂度就是树的高度。我们可能习惯性地认为树的高度就是 logN，但这并不一定。
logN 的高度只存在于平衡二叉树，对于一般的树可能出现极端不平衡的情况，使得「树」几乎退化成「链表」，树的高度最坏情况下可能变成 N。
所以说上面这种解法，find , union , connected 的时间复杂度都是 O(N)。这个复杂度很不理想的，你想图论解决的都是诸如社交网络这样数据规模巨大的问题，对于 union 和 connected 的调用非常频繁，每次调用需要线性时间完全不可忍受。
问题的关键在于，如何想办法避免树的不平衡呢？
出现不平衡现象，关键在于 union 过程：
class UF { // 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
public void union(int p, int q) { int rootP = find(p); int rootQ = find(q); if (rootP == rootQ) return; // 将两棵树合并为一棵 parent[rootP] = rootQ; // parent[rootQ] = rootP 也可以 count--; }}我们一开始就是简单粗暴的把 p 所在的树接到 q 所在的树的根节点下面，那么这里就可能出现「头重脚轻」的不平衡状况，比如下面这种局面：
长此以往，树可能生长得很不平衡。我们其实是希望，小一些的树接到大一些的树下面，这样就能避免头重脚轻，更平衡一些。解决方法是额外使用一个 size 数组，记录每棵树包含的节点数，我们不妨称为「重量」：
class UF { private int count; private int[] parent; // 新增一个数组记录树的“重量” private int[] size;
public UF(int n) { this.count = n; parent = new int[n]; // 最初每棵树只有一个节点 // 重量应该初始化 1 size = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { parent[i] = i; size[i] = 1; } } // 其他函数}比如说 size[3] = 5 表示，以节点 3 为根的那棵树，总共有 5 个节点。这样我们可以修改一下 union 方法：
class UF { // 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
public void union(int p, int q) { int rootP = find(p); int rootQ = find(q); if (rootP == rootQ) return;
// 小树接到大树下面，较平衡 if (size[rootP] > size[rootQ]) { parent[rootQ] = rootP; size[rootP] += size[rootQ]; } else { parent[rootP] = rootQ; size[rootQ] += size[rootP]; } count--; }}此时，find , union , connected 的时间复杂度都下降为 O(logN)，即便数据规模上亿，所需时间也非常少。
其实我们并不在乎每棵树的结构长什么样，只在乎根节点。
因为无论树长啥样，树上的每个节点的根节点都是相同的，所以能不能进一步压缩每棵树的高度，使树高始终保持为常数？
执行查找操作时,将路径上所有节点直接连接到根节点,避免树的高度变得太高,提供后续操作的效率.
这样每个节点的父节点就是整棵树的根节点，find 就能以 O(1) 的时间找到某一节点的根节点，相应的，connected 和 union 复杂度都下降为 O(1)。
这个递归过程有点不好理解，你可以自己手画一下递归过程。我把这个函数做的事情翻译成迭代形式，方便你理解它进行路径压缩的原理：
// 第二种路径压缩的 find 方法 public int find(int x) { if (parent[x] != x) { parent[x] = find(parent[x]); } return parent[x]; }
这个递归一开始有点难理解,但是品味一下还是能想明白的.
我这个函数的目的是什么,是拉平整个树.
那我想拉平整个树,我肯定是一个个去拉平,最好的方式是我能直接找到根节点,然后让其他节点的父节点指向它.
理解了这一点,你再返回去看看就很简单了.
实在不理解,我的建议是背下来.
class UF { // 连通分量个数 private int count; // 存储每个节点的父节点 private int[] parent;
// n 为图中节点的个数 public UF(int n) { this.count = n; parent = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { parent[i] = i; } }
// 将节点 p 和节点 q 连通 public void union(int p, int q) { int rootP = find(p); int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ) return;
parent[rootQ] = rootP; // 两个连通分量合并成一个连通分量 count--; }
// 判断节点 p 和节点 q 是否连通 public boolean connected(int p, int q) { int rootP = find(p); int rootQ = find(q); return rootP == rootQ; }
public int find(int x) { if (parent[x] != x) { parent[x] = find(parent[x]); } return parent[x]; }
// 返回图中的连通分量个数 public int count() { return count; }}